Kratek pregled: infinitezimalni račun Osrednji pojem infinitezimalnega računa je sprememba količine. Najočitnejše so spremembe časa, seveda pa nas zanimajo tudi spremembe, ki so odvisne od kraja (npr. potek nadmorske višine vzdolž hribovske poti) ali drugih spremenljivk. Od časa odvisne spremembe kraja so vodile k razvoju infinitezimalnega računa: Isaac Newton (1643–1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) sta neodvisno rešila problem krivulje, ki jo opiše telo, ko pada pod vplivom gravitacijskega polja Zemlje. Nastali sta novi računski operaciji: odvajanje, kjer iz poteka funkcije izračunamo potek njenega spreminjanja (odvod), in integriranje, pri katerem iz poteka spreminjanja funkcije dobimo samo funkcijo (nedoločeni integral). Obe operaciji temeljita na limitnih prehodih, kjer računamo z infinitezimali (»neskončno majhnimi« količinami). Tako je odvod limita kvocientov majhnih sprememb (limita diferenčnega količnika), integral pa limita zaporedja vsot velikega števila zelo majhnih členov (limita integralskih vsot). Za primer vzemimo šest posnetkov padajočega kladiva v časovnih razmikih po 0,03 sekunde. Časovni potek oddaljenosti h kladiva od podlage prikažemmo z rdečo krivuljo in se sklada s položaji kladiva v točkah 1–6. Zanimiv je tudi potek hitrosti. Dobimo ga kot odvod oddaljenosti po času: ob krivuljo prislonimo »podporne« trikotnike z isto dolžino vodoravne osnovnice. Višine navpičnih stranic so potem merilo za strmino krivulje v ustreznem dotikališču. Strmine krivulje v točkah 7–11 so v razmerju 0 : 1 : 2 : 3 : 4. Če dobljene vrednosti prenesemo, dobimo potek odvoda v obliki krivulje 13. Na osnovi izmerjenih vrednosti izračunamo približek 140 cm/s za hitrost kladiva v točki 1. Z merjenji v dovolj velikem številu točk (trenutkov) dobimo zadovoljiv prikaz poteka hitrosti v kladiva. Sprememba hitrosti glede na čas, pospešek a, je potem strmina krivulje hitrosti. Če kladivo prosto pada, je pospešek konstanten. V točki 3 kladivo zadene žebelj in njegova hitrost v milisekundi pade z največje vrednosti na pribl. 40 cm/s. Temu dogodku ustrezna konica krivulje pospeška a je tako velika, da doseže približno stokratno vrednost pospeška prostega pada. Po Newtonovem zakonu temu sledi ustrezno velika sila na žebelj, približno stokrat večja od teže kladiva. Načelo, po katerem deluje kladivo, temelji na delovanju velike sile zaradi hipnega zaviranja njegovega gibanja. Prožnost lesenega ročaja kladiva dá kladivu še udarec navzgor. Potem kladivo spet pada s konstantnim pospeškom a' in naraščajočo hitrostjo v'. Infinitezimalni račun je nastal iz potreb mehanike, posebnega področja fizike, in je tam odigral nadvse pomembno vlogo. Osnovni zakon mehanike – sila je produkt mase in pospeška – vsebuje npr. pospešek kot podatek. Infinitezimalni račun igra pomembno vlogo tudi v elektromehaniki in elektroniki. Na uporu je napetost sorazmerna jakosti toka, na kondenzatorju je jakost toka sorazmerna spremembi napetosti, na tuljavi pa je, nasprotno, napetost sorazmerna spremembi jakosti toka. Kaj se zgodi, če takšne gradnike zvežemo in priklopimo na izmenični tok? Infinitezimalni račun nam omogoča, da ta na videz zapleten problem preprosto formuliramo in enostavno rešimo. Rezultat med drugim pokaže, da se v tokokrogu pri določeni frekvenci pojavi resonanca, kjer že majhne napetosti povzročijo velike tokove. Na tem pojavu temeljijo sprejemni tokokrogi vseh radijskih in televizijskih sprejemnikov, hkrati pa to onemogoča sprejem »valovne solate« vseh oddajnikov. Do podobnih problemov prihaja pri vseh pojavih, ki niso konstantni glede na čas, npr. pri metu kamna z mostu. Če hočemo torej dojeti bistvo nekega gibanja, ki ni enakomerno, temveč se spreminja v odvisnosti od časa, moramo poseči po infinitezimalnem računu. To se zgodi pri praktično vseh gibanjih v našem svetu. Zato ni čudno, da je infinitezimalni račun, ki obsega med drugim tudi ustrezna računska pravila, tako pomemben v praksi in seveda predvsem v teoriji. Znanja, potrebna za obvladovanje infinitezimalnega računa, niso bistveno težja od računskih pravil seštevanja in množenja. Eksponentna funkcija y = ex (kjer je e = 2,7182 …) ima v infinitezimalnem računu izstopajočo vlogo: opisuje potek pojava, katerega sprememba se v vsaki točki ujema z njegovo vrednostjo. Zato ostane ta funkcija nespremenjena tako pri odvajanju kot pri integraciji in igra enako vlogo kot ničla pri seštevanju ali enica pri množenju. Vendar to še zdaleč ni vse! Pokažemo lahko, da je ta funkcija za imaginarne vrednosti periodična in v bistvu sestavljena iz sinusne in kosinusne funkcije. Zaradi te zveze s kotnimi funkcijami je kompleksna eksponentna funkcija primerna za opisovanje nihanj in valovnih pojavov, če omenimo le najvažnejše uporabe. V naravi imamo poleg valovnih (kot je npr. svetloba) še veliko od časa odvisnih pojavov, ki jih lahko opišemo z eksponentnimi funkcijami. To so takšne spremenljivke v naravi, katerih sprememba (povečanje ali zmanjšanje) je sorazmerna njihovi trenutni vrednosti. V obliki y = e–kx, kjer je k pozitivna konstanta, opisuje eksponentna funkcija pojave, povezane z neprestanim pojemanjem, npr. radioaktivni razpad, pri katerem je število trenutno razpadajočih atomov sorazmerno številu vseh še nerazpadlih atomov. Po razpolovnem času T1/2 ostane od začetnega števila N(0) jeder radioaktivne snovi le še polovica nerazpadlih, po naslednji dobi dolžine T1/2 le še polovica teh itd. Razpolovni čas radioaktivne snovi je odlično merilo časa: tako zelo je točno, da ga uporabljajo za merjenje časa, npr. pri metodi C-14. Ta radioaktivni izotop ogljika nastaja neprekinjeno v majhnih količinah v ozračju in sodeluje v procesih presnove pri rastlinah in živalih. Njegov razpolovni čas (5730 let) zato uporabljajo za določanje starosti snovi organskega izvora. Če grafično predstavimo eksponentno funkcijo v velikem merilu (kjer 1 cm ustreza eksponentu 100), je njen graf podoben pravemu kotu. To pojasnjuje, zakaj eksponentna funkcija opisuje eksploziven potek procesa. Rast obljudenosti ni konstantna, temveč zadnja desetletja eksponentna, obdobja, v katerih se prebivalstvo podvoji, pa postajajo vedno krajša – do leta 2000 so z današnjimi modeli pravilno napovedali več kot šest milijard ljudi. Sedanja gibanja kažejo tudi velike premike v deležih med celinami: relativno, glede na celotno število prebivalcev Zemlje, se bo delež Evrope krepko zmanjšal, delež Afrike bo miroval, delež Azije pa se bo močno povečal. Razloga sta neprestano dviganje povprečne pričakovane življenjske dobe novorojenih zaradi boljše zdravstvene oskrbe in sočasno naraščanje povprečne življenjske dobe odraslih. Ne moremo pa izključiti možnosti, da vrh tu prikazane krivulje v resnici ne bo dosežen, temveč se bo število prebivalstva ustalilo ali celo začelo upadati, morda zaradi zmanjšanja števila otrok v družinah zaradi kontrole rojstev ali velikih naravnih katastrof. Avtor Richard Knerr
Dostopnost