Mandelbrotova množica ([mándelbrotova ∼], po B. Mandelbrotu), podmnožica (ravnine) kompleksnih števil, ki je določena takole: zaporedje zn kompleksnih števil je podano z iteracijo: zn + 1 = zn2 + c in z začetnim členom z0 = 0. Mandelbrotova množica je rob območja tistih vrednosti kompleksnega parametra c, za katere je dobljeno zaporedje omejeno.
Kratek pregled: Mandelbrotova množica V naravoslovju je osnovnega pomena izračunljiva napoved dogodka, ki jo potrdi poskus. Pogoj je dobro poznavanje podrobnosti pri pripravi eksperimenta ali vsaj zanesljivost statistične obdelave rezultatov. Prav v to so podvomili nekateri znanstveniki celo v tako trdno zasnovanih znanostih, kot je npr. astronomija. Že zdavnaj smo se sprijaznili z dejstvom, da ni mogoče v podrobnostih razumeti poteka struge potoka. Novo pa je spoznanje, da so tako »kaotični« vsi dinamični procesi. Kljub temu nemara vendarle obstaja kaj takega, kot je red v kaosu. Matematiki skušajo že dolgo dojeti tovrstne zakonitosti. Po Benoitu Mandelbrotu imenovana množica je zgled takšnega kaotičnega poteka. Poleg tega vzbudi pri opazovalcu občutek določene estetike; nekateri jo imenujejo tudi jabolčni možiček. Seveda je slika te množice značilen računalniški rezultat, ki ga lahko izvede na računalniku PC že vsak amaterski programer. Matematične osnove Mandelbrotove množice so v bistvu preproste. Osnovna zveza je preslikava z → z2 + c, kjer sta z in c kompleksni števili. Tej preslikavi priredimo iteracijski postopek, v katerem na desno stran vstavimo začetni vrednosti (z0 in c), tako izračunamo novo vrednost z1, to skupaj z istim c spet vstavimo na desno stran, izračunamo z2, tega ponovno s konstanto c vstavimo na desno stran itd. Tako izračunamo zaporedje kompleksnih števil z1, z2, z3 …, določeno z izbranima z0 in c. Če izberemo z0 = 0 in spreminjamo c, bo to zaporedje ali omejeno ali pa bo težilo v neskončnost. Vrednosti parametra c, pri katerih ostane zaporedje omejeno, ležijo v podmnožici kompleksne ravnine, ki jo zaradi njenega videza imenujejo jabolčni možiček. Rob tega območja je fantastično zapleten: to je Mandelbrotova množica. Izkazalo se je, da je ta množica vezana na ulomljeno dimenzijo, da torej sodi med tako imenovane fraktale. Če robno črto opazujemo pri vse večji povečavi, prepoznavamo čedalje bolj zapletene strukture. Jabolčnega možička v kompleksni ravnini prikazujejo tako, da je vodoravna os realna os, nanjo pravokotna pa je imaginarna os. Črno področje obsega vse vrednosti c, za katere ostane iteracijski postopek z → z2 + c omejen pri začetni vrednosti z0 = 0. Rob tega področja je Mandelbrotova množica. Lepota Mandelbrotove množice postane očitna pri barvnih predstavitvah. Barve se v podobi, dobljeni z računalniško grafiko, pojavijo kot odraz različnih hitrosti, s katerimi se točke zunaj Mandelbrotove množice preslikujejo proti neskončnosti. Nenavadno se novi jabolčni možički prikazujejo pri povečavah izrezov osnovne slike. Vedno večje povečave kažejo vedno nove razvejitve s samopodobnimi gradniki. Da bi priklicali vedno nove estetske vtise, so slike različno obarvane in živo poimenovane (npr. Potovanje v dolino morskih konjičkov). To lastnost fraktalnih struktur označujemo kot samopodobnost ali invariantnost glede na merilo. Kar vidimo na sliki kot matematično igračkanje, ima popolnoma praktičen pomen za obnašanje dinamičnih sistemov. V iteracijskem postopku, ki je pripeljal do Mandelbrotove množice, smo spreminjali parameter c in začenjali iz iste začetne točke 0. Namesto tega lahko izberemo c in spreminjamo začetne vrednosti iteracije. Tako dobimo za vsak kompleksen c ustrezno Juliajevo množico (Gaston Julia, francoski matematik). Avtor Richard Knerr
Dostopnost